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2008年09月08日星期一

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圆周角

作者：出处：八佰教育网更新时间： 2007年09月04日

圆周角

教学目标：

1、本节课使学生在掌握圆周角的定义和圆周角定理的基础上，进一步学习圆周角定理的三个推论；

2、掌握三个推论的内容，并会熟练运用推论1、推论2证明一些问题．

3、通过推论1、推论2的教学，培养学生动手操作能力和独立获得知识的能力．

4、结合例2的教学进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力．

教学重点：

圆周角定理的三个推论的应用．

教学难点：

理解三个推论的“题设”和“结论”．

教学过程：

一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了圆周角的概念及圆周角定理，请两位中等学生回答这两个问题．

接着请同学们看这样一个问题：

已知：如图7-34，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，求证：AE·EB=DE·EC．

师生共同分析：欲证明AE·EB=DE·EC，只有化乘积式为比例

角形相似条件为∠AED=∠CEB．

当学生分析得到∠AED=∠CEB，发现两个三角形相似条件不充分，只有一对角相等，不符合相似三角形的判定，这时教师补充到：如能填加∠A=∠C这个条件，能不能得到这两个三角形相似呢？请同学观察∠A、∠C是什么角呢？这节课我们继续学习“7．5圆周角（二）”本节课我们就来解决∠A=∠C的问题．教师利用一道题创设问题的情境，有意制造一种悬念，就是为了以需要激发学生的情趣，用需要这个动力源泉激发学生的积极性．

二、新课讲解：

为了把教师的教变成学生自己要学习．学生们带着要解决∠A=∠C的问题，思维处于积极探索状态时，教师及时提出问题：

请同学们画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？

这时教师要求学生至少画出三个，要求学生用量角器度量一个这三个角有什么关系？

请三名同学将量得答案公布于众．得到结果都是一致的，三个角均相等．通过度量我们可以知道∠A=∠A1=∠A2，想一想还有没有别的方法来证明这三个角相等呢？

学生分析证明思路，师生共同评价．教师概括总结出方法：要证明∠A=∠A1=∠A2，只要构造圆心角进行过渡即可．

接下来引导学生观察图形；在⊙O中，若 = ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G，是否得到 = 呢？学生思考，议论，最后得到结论．

若 = ，则∠C=∠G，反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若 = ，否则不一定成立．

这时教师要求学生举出反面例子：

若∠C=∠G，则 ≠ ，从而得到圆周角的又一条性质．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

强调：同弧说明是“同一个圆”；

等弧说明是“在同圆或等圆中”．

“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？教师提出这样的问题后，学生通过争论得到的看法一致．

接下来出示一组练习题：

1．半圆所对的圆心角是多少度？半圆所对的圆周角呢？为什么？

2．90°的圆周角所对的弧是什么？所对的弦呢？为什么？

由学生自己证明得到了推论2：

推论2：半圆或（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

巩固练习1：判断题：

1．等弧所对的圆周角相等；（    ）

2．相等的圆周角所对的弧也相等；（    ）

3．90°的角所对的弦是直径；（    ）

4．同弦所对的圆周角相等．（    ）

这组练习题的目的是强化对圆周角定理的推论1、推论2的理解，加深对推论1、推论2的理解，掌握并准确运用．

接下来出示幻灯片：

形呢？

O上．

∴∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形．于是得到推论3．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

数学表达式：

教师告诉学生这是证明一个三角形是直角三角形的判定定理．

这时教师提醒学生开课时的问题能否解决：学生回答出解决思路和方法，最后教师强调．

接下来教师给出例1

已知：如图7-41，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．

求证：AB·AC=AE·AD．

由学生分析证明思路，教师把分析过程写在黑板上：

有证明△ABE～△ADC即可．

引导学生总结：在解决圆的有关问题中，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角．

接下来教师提示，把例1中的AD延长交⊙O于F，求证：BE=FC．

由学生分析，两名同学证明出两种不同方法写在黑板上．

（法一）：连结EF．

EF∥BC = BE=FC

（法二）：△ABE～△ACF ∠BAE=∠FAC = BE=FC．

巩固练习P．95中1、2、3．

三、课堂小结：

本节课知识点：

本节课所学方法：

常用引辅助线的方法①构造直径上的圆周角；②构造同弧所对的圆周角．

四、布置作业

教材P．100中8、9、10、11、12．