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2008年10月07日星期二

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课题一次函数的应用

作者：出处：八佰教育网更新时间： 2007年09月04日

课题    一次函数的应用

教学内容：

知识与技能：巩固所学的一次函数的定义、图象和性质．能够用一次函数的知识解决实际问题.

过程与方法：掌握用待定系数法求函数解析式的一般方法．

情感态度与价值观：继续渗透数形结合的数学思想．

教学重点和难点:

重点：用待定系数法求一次函数的解析式是本节课的重点．

难点：根据解析式中待定字母的取值研究函数图象在坐标系中的位置，要进行讨论，要运用数形结合的思想，是本节课的难点．

方法：探索式

教学过程

　　一、复习提问

　　1．什么是一次函数？确定一个一次函数需要几个因素？是哪几个？

　　y＝kx＋b(k≠0)叫做关于x的一次函数，其中k和b为常数．这样在一次函数中，只要确定了k和b的值，那么这个一次函数也就随之确定了．可以说k和b是确定一次函数的两个因素．

　　提这个问题是为使用待定系数法确定k和b的值做准备．

　　2．已知一次函数y＝2x＋1，x取何值时，函数值y＝3？

　　令y＝3，代入解析式，得3＝2x＋1，解得x＝1．

　　3．从“形”的角度说“直线y＝3x＋4经过点(－1，1)”，把它改为从“数”的角度来叙述．

　　提这个问题的意义在于使同学们搞清“点在图象上”与“坐标满足解析式”是从“形”与“数”两个不同角度叙述的同一内容，是“数”与“形”的相互转化，是数形结合思想的体现．

　　二、例题讲解

　　例1 已知AB两地相距90千米．某人骑自行车由A地去B地，他平均时速为15千米．

　　(1)求骑车人与终点B之间的距离y(千米)与出发时间x(小时)之间的函数关系；

　　(2)画出函数图象：

　　分析：在这个问题中有两个已知量．一个是两地之间的距离90千米，一个是骑车人的速度．而骑车人与终点的距离y及出发时间x则都是未知量．我们能否找到这两个已知量与两个未知量之间的等量关系呢？找到后还要把它写成函数的形式，即把y写在等号的左边，其他的量则写到等号的右边．

　　解：y与x之间的函数关系式为y＝90－15x．

　　分析：写到这里是否就写完了呢？还没有．我们知道一次函数的自变量取值范围是全体实数，而这个问题是实际问题，时间、距离都不会取负值，因此，有一个x的取值范围问题，请同学们想，x应在什么范围内取值？

　　得出x的取值范围是 0≤x≤6

　　然后取点画函数的图象．

　　取x＝0，得y＝90，

　　取x＝6，得y＝0．

　　画点A(0，90)，B(6，0)，然后连线段AB即为所求．

　　说明：由于函数图象是函数关系的反映，因此所画函数图象要与自变量取值范围相一致．本例中自变量x的取值范围是0≤x≤6，因此它的图象只是直线y＝90－15x上的一条线段．

例2 为了保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度（不含靠背）为xcm，则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：

第一套
第二套

椅子的高度x(cm)
40
37

桌子的高度y（cm）
75
70.2

(1)  写出y与x之间的函数关系式.

(2)  现有一把高42cm 的椅子和一张高为78.2cm 的课桌，它们是否配套？通过计算说明.

例3 某地长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定质量的行李，若超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.

（1）写出y与x之间的函数解析式.

（2）旅客最多可以携带多少免费行李.

分析：（1）根据一次函数的图象可以求出两个交点的坐标，进而可以列方程组，求出k、b的值，得出函数解析式.         （2）根据函数图象与x轴的交点求出旅客可以携带免费行李质量.

例4 如图温度计上表示了摄氏温度与华氏温度之间的对应关系.

（1）       能否用函数解析式表示两者之间的关系？

（2）       若今天的气温是摄氏20度，那么华氏是多少度？

　　三、小结

　　这节课我们讲了三个例题，重点是用待定系数法求一次函数的解析式，画一次函数的图象以及数形结合的思想．

　　待定系数法的主要步骤是：

　　1．把某些未知的系数用字母表示；

　　2．根据已知条件列出含有待定字母的方程或方程组．一般有几个待定字母应列几个方程；

　　3．解方程或方程组求出待定字母的值，使问题得解．

　　函数的解析式与它的图象是对应的，解析式的特点会影响到图象的位置，这种“数”与“形”的对应关系应该在函数的学习中逐渐加深理解．

　　四、布置作业

　　1．画出下列一次函数的图象：

　　
　　　

　　2．已知一个一次函数，当x＝－4时，y＝9，当x＝6时，y＝3．求x＝1时y的值．

　　3．已知一次函数的图象经过(3，2)和(－3，0)两点，求这个一次函数解析式并画出在－1≤x≤3内的函数图象．　　

4．某工人生产一种零件，完成定额，每天收入28元，若超额生产一个零件则增加收入1.5元

（1）       写出该工人一天收入y(元)和超额生产零件x（个）之间的函数关系式

（2）       某日该工人超额生产了12个零件，这天他的实际收入是多少？

5. 全国每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠保护土地资源已经成为一项十分重要和急迫的任务.某地区现在有土地面积100万km2，沙漠面积200万km2,土地沙漠化的变化情况如下图所示.

（I）如果不采取任何措施，那么到第5年底？该地区的沙漠面积将新增加多少万km2?

（II）如果该地区沙漠面积继续按此形式发展那么从现在开始几年底后，该地区将丧失土地资源？

（III）如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造沙漠4万km2那么几年底该地区的沙漠面积能减少到176万km2？